Unser Kreuzprodukt Rechner ermöglicht es Ihnen, das Kreuzprodukt zweier dreidimensionaler Vektoren schnell und einfach zu berechnen.

Geben Sie einfach die Komponenten Ihrer Vektoren ein, und der Rechner liefert Ihnen das Ergebnis samt detaillierter Zwischenschritte. Ideal für Studenten, Ingenieure und alle, die mit Vektorberechnungen arbeiten – probieren Sie es gleich aus!

Kreuzprodukt Rechner

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Anleitung zur Verwendung des Kreuzprodukt Rechners

  1. Geben Sie die Komponenten des ersten Vektors (u) in die linken drei Felder ein.
  2. Geben Sie die Komponenten des zweiten Vektors (v) in die rechten drei Felder ein.
  3. Klicken Sie auf den „Berechnen“ Button.
  4. Das Ergebnis wird unterhalb angezeigt, zusammen mit den Zwischenschritten der Berechnung.

Hinweis: Das Kreuzprodukt ist nur für dreidimensionale Vektoren definiert. Stellen Sie sicher, dass Sie für jeden Vektor alle drei Komponenten eingeben.

Kreuzprodukt berechnen: Formel und Erklärung

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren u und v im dreidimensionalen Raum wird mit folgender Formel berechnet:

\(\mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = (u_2 v_3 – u_3 v_2)\mathbf{i} + (u_3 v_1 – u_1 v_3)\mathbf{j} + (u_1 v_2 – u_2 v_1)\mathbf{k}\)

Hierbei sind:

  • \(u_1, u_2, u_3\) die Komponenten des Vektors \(\mathbf{u}\)
  • \(v_1, v_2, v_3\) die Komponenten des Vektors \(\mathbf{v}\)
  • \(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) die Einheitsvektoren in die Richtungen der x-, y- und z-Achse

Das Ergebnis des Kreuzprodukts ist ein Vektor \(\mathbf{w}\), der senkrecht sowohl zu \(\mathbf{u}\) als auch zu \(\mathbf{v}\) steht. Diese Operation wird häufig verwendet, um den Normalenvektor einer Ebene zu berechnen oder die Fläche eines Parallelogramms zu bestimmen, das von zwei Vektoren aufgespannt wird.

Anwendungsgebiete und Einsatzmöglichkeiten

Das Kreuzprodukt ist in vielen wissenschaftlichen und technischen Disziplinen von Bedeutung. In der Physik wird es verwendet, um das Drehmoment einer Kraft zu berechnen oder den Magnetfluss zu bestimmen. Im Ingenieurwesen hilft das Kreuzprodukt bei der Analyse von Kräften und Momenten in Strukturen, während es in der Computergrafik verwendet wird, um die Ausrichtung von Objekten und die Berechnung von Lichtreflexionen zu bestimmen.

Ein weiteres praktisches Anwendungsgebiet des Kreuzprodukts ist die Berechnung der Fläche eines Parallelogramms, das von zwei Vektoren aufgespannt wird. Die Länge des resultierenden Vektors entspricht der Fläche dieses Parallelogramms. Dies ist besonders nützlich in der Geometrie und der Vektorrechnung.

Beispielberechnung des Kreuzprodukts

Nehmen wir an, Sie haben zwei Vektoren \(\mathbf{u} = (2, 3, 4)\) und \(\mathbf{v} = (5, 6, 7)\). Das Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren wird wie folgt berechnet:

  • Erste Komponente: \(u_2 \times v_3 – u_3 \times v_2 = 3 \times 7 – 4 \times 6 = 21 – 24 = -3\)
  • Zweite Komponente: \(u_3 \times v_1 – u_1 \times v_3 = 4 \times 5 – 2 \times 7 = 20 – 14 = 6\)
  • Dritte Komponente: \(u_1 \times v_2 – u_2 \times v_1 = 2 \times 6 – 3 \times 5 = 12 – 15 = -3\)

Der resultierende Vektor \(\mathbf{w}\) ist also \(\mathbf{w} = (-3, 6, -3)\). Dieses Ergebnis zeigt, dass der resultierende Vektor senkrecht sowohl zu \(\mathbf{u}\) als auch zu \(\mathbf{v}\) steht.

Mathematischer Hintergrund des Kreuzprodukts

Das Kreuzprodukt ist eine spezielle Art der Vektoroperation, die nur im dreidimensionalen Raum definiert ist. Es hat seine Wurzeln in der Linearen Algebra und wird verwendet, um einen Vektor zu finden, der senkrecht zu zwei gegebenen Vektoren steht. Diese Operation ist antisymmetrisch, was bedeutet, dass das Kreuzprodukt der Vektoren \(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) das negative des Kreuzprodukts \(\mathbf{v} \times \mathbf{u}\) ist.

Ein wichtiger Aspekt des Kreuzprodukts ist, dass das Ergebnis ein Vektor ist, dessen Richtung durch die sogenannte Rechte-Hand-Regel bestimmt wird. Wenn Sie die Finger Ihrer rechten Hand in Richtung des ersten Vektors (u) ausstrecken und Ihre Finger in Richtung des zweiten Vektors (v) krümmen, zeigt Ihr Daumen in die Richtung des resultierenden Vektors (w).

Die Länge des resultierenden Vektors entspricht der Fläche des Parallelogramms, das von den beiden Ausgangsvektoren aufgespannt wird, was das Kreuzprodukt zu einem wertvollen Werkzeug in der Geometrie macht.

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